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Séminaire

Séminaire MaMuPhi

sam 20 janvier,
10h00- 18h00
Ircam
salle Stravinsky

En entrée libre

Comment la musique résonne (et ses musiciens raisonnent) avec d'autres modes de pensée ? Avec les langues et la poésie (Babel), avec les mathématiques et la philosophie (Mamuphi), avec la politique et la psychanalyse comme avec tout autre (Entretemps) ? Il s'agira, dans cette formule globale, d'entrelacer, sous une unique formule mensuelle (huit samedis, de 10h à 18h, à l'Ircam, salle Stravinsky), les différents types d'affinité qui faisaient, depuis longtemps, l'objet de séminaires cloisonnés.

Philosophie contemporaine de mathématiciens : Évariste Galois, Gian-Carlo Rota, Gilles Châtelet

À l'âge classique, mathématique, philosophie naturelle et métaphysique se développaient de concert. La mathématique a conquis son autonomie grâce à ce compagnonnage, mais elle a rompu ses liens historiques avec la philosophie. Or, celle-ci ne s’en est plus guère soucié, si ce n’est en surplomb et à travers une discipline désormais séparée, qui prend la mathématique comme objet d'étude fantasmé, plutôt que comme alter ego dans la puissance de pensée. Or, c’est une problématique commune qui s’impose : celle de la philosophie dans laquelle trois mathématiciens (Évariste Galois, Gian-Carlo Rota & Gilles Châtelet) se sont intensément engagés, parfois au prix de leur vie, en affrontant des questions (théoriques, sociales ou politiques) particulièrement brûlantes, et toujours en prise directe avec leur discipline.


Programme

10h

Catherine Paoletti : présentation de la journée

10h15

Charles Alunni : Galois philosophe

11h15

François Nicolas : D’une longue marche de la modernité musicale, à la lumière de la théorie de Galois

12h15

Discussion

13h - 15h

Pause

15hCatherine Paoletti : Nombre et Consensus

16h - 18h

Table ronde dirigée et présentée par Éric Brian autour du numéro 1-4/2017 de la Revue de Synthèse (Philosophie contemporaine de mathématiciens : Évariste Galois, Gian-Carlo Rota, Gilles Châtelet), parue aux Éditions Brill, avec Charles Alunni et Pierre Cartier

Organisation

Catherine Paoletti et Charles Alunni


Résumé des interventions

Charles Alunni :

Il s’agit d’analyser la copie de philosophie au concours d’entrée à l’École préparatoire, en 1829, d’Évariste Galois (1811-1832). Considéré par ses contemporains comme quelqu’un éprouvant la « fureur des mathématiques » (cf. son professeur Louis-Émile Richard (1795-1849) à Louis-le-Grand) ou des « dispositions heureuses » pour cette science (cf. Sophie Germain (1776-1831)), son parcours et ses écrits mathématiques ont été la source de multiples études depuis l’édition à titre posthume de son œuvre, en 1846, jusqu’à aujourd’hui. Elles sont de nature mathématique, historique ou littéraire mais il manquait, selon nous, une étude à caractère épistémologique.

Dans cette copie il répond à la question : « Définir l’induction. Donner les règles de la méthode inductive » posée par le jeune maître de conférences nouvellement nommé à l’École préparatoire : Jules Michelet (1798-1874). Le commentaire final du correcteur, l’inspecteur général de l’Université, l’abbé André-René-Pierre Daburon (1758-1838), est le suivant : « il y a du travail, de la réflexion dans ce travail. Peu de résultats » ; et il conclut que « L’induction n’est pas définie : elle est mal appréciée dans la dernière phrase. Les règles sont omises ». Après l’examen des arguments avancés par Galois, la question est de savoir si sa copie porte en germe sa pensée mathématique, celle qu’il exprime quelques mois plus tard dans la prison de Sainte-Pélagie par la formule célèbre : « Sauter à pieds joints sur les calculs, grouper les opérations, les classer suivant leurs difficultés et non suivant leurs formes, telle est, suivant moi, la mission des géomètres futurs » ?

Nous dépasserons le cadre strict de sa copie pour en faire une sonde épistémologique de l’œuvre mathématique en gestation de Galois.

La première remarque, c’est que le sujet proposé au concours aura « profité » à l’impétrant Évariste Galois ! Car il s’agit là en effet d’un sujet de « philosophie des sciences ». À notre connaissance, malgré l’absence d’ouvrages spécifiquement consacrés à la notion d’induction, ce thème faisait partie des cours suivis sans doute par les futurs candidats à l’entrée à l’École normale. La seconde remarque est qu’une simple lecture du texte d’épreuve témoigne de ce que la copie du candidat Galois est une authentique copie de philosophie. Car, en 1829, Galois est déjà un mathématicien hors norme, qui réfléchit en mathématicien créatif sur les principes de sa discipline : il est en effet en train de déplacer radicalement l’angle d’attaque, tant en mathématique (algèbre, calcul infinitésimal, théorie des nombres…) qu’en philosophie (lieu d’expression conceptuelle des principes comme de la méthode nouvelle).

 

François Nicolas :

Les mathématiques modernes naissent autour de 1830 avec la théorie de Galois, qui révolutionne l’algèbre en repensant l’équation polynomiale comme correspondance entre corps (de résolution) et groupes (de permutations) de ses racines. Ce faisant, Galois résout une crise algébrique des équations irréductibles (qui, par bien des points, s’apparentait à l’antique crise arithmétique des nombres irrationnels) et arrache ainsi les mathématiques au climat désabusé qui y dominait depuis un demi-siècle (Lagrange-1781, Cauchy-1811) pour les engager sur ce que Grothendieck nommera, un siècle et demi plus tard, « une longue marche », toujours en cours.

Quel type de modernité mathématique émerge ainsi dans les « extensions et groupes de Galois » ? Comment, en algèbre, configurent-elles l’opposition du classique et du moderne ? Ce renversement  de l’algèbre (où désormais le polynôme structure le produit de ses zéros en groupe stable au lieu de le disperser en résolutions individuelles) peut-il intéresser aujourd’hui de tout autres types de modernités, ensablées dans leurs propres saturations, à commencer par la modernité musicale, engagée par Schoenberg, mise à mal après 1968 par la postmodernité et, depuis la mort de Carter et de Boulez, tenue pour forclose par la plasticité contemporaine de la performance, du mixage et de la numéricité ? À quelles conditions serait-il possible de reprendre la longue marche de ces modernités (politiques, artistiques, amoureuses…) aux points mêmes où une mélancolie dépitée les a pour partie submergées ? 

L’hypothèse sera qu’un certain style galoisien de pensée peut ici nous guider, et nous encourager.

Nous en thématiserons, pour ce faire, les caractéristiques suivantes :

1. Rédupliquer (ou dialectiser) l’énoncé du problème dans son énonciation : Galois, en établissant la pensée algébrique dans ce qu’elle ne connait pas de l’inconnu sans plus la cantonner à ce qu’elle peut en connaître (c’est-à-dire à l’équation formalisant les relations connues de l’inconnue), dispose ainsi l’énonciation algébrique sous le signe même de l’inconnaissable qu’elle étudie.

2. Renverser l’ordre du problème, et ressaisir le point où l’on bute comme la ressource d’où repartir : Galois « groupe » les racines algébriquement indiscernables pour mieux travailler ainsi la structure même de leur ambiguïté.

3. Sortir de l’impasse par le haut en créant de nouvelles notions qui autorisent l’extension du domaine de travail : Galois invente ainsi une fonctorialité (contravariante) entre extensions de corps et réductions de groupes.

4. Pour mettre en œuvre cette extension, adjoindre : Galois invente ce faisant la méthode si puissante de l’adjonction-extension.

5. Last but not least, accepter de payer le prix du nouvel espace étendu en renonçant à ces premières motivations qu’il devient rétroactivement possible de caractériser comme une sorte de stade juvénile de la discipline : Galois défétichise le millénaire désir algébrique de résolubilité.

Au total, Galois contribue ainsi à l’histoire mathématique de ces révolutions où une notion de prime abord privative se retourne en socle affirmatif pour de nouveaux élans : l’inconnu (Al-Khawârizmî), l’irréductible (Galois), l’irrationnel (Dedekind), l’infini (Cantor), le non-euclidien (Riemann), l’invariant (Klein), l’incomplétude et l’indécidable (Gödel), l’irrégulier (Hironaka), l’indiscernable (Cohen), l’infinitésimal (Robinson, Conway), le non-commutatif (Connes), etc., toutes notions qui font bien sûr écho à l’inconscient (Freud).

Tout ceci ne constitue-il pas une étonnante ressource mamuphique pour ceux qui, ne cédant pas sur leur désir de modernité musicale, devront, tôt ou tard, reconvertir la dimension soustractive de sa séquence fondatrice (atonalité, athématisme et amétricité) en la figure affirmative d’une troisième séquence, extrayant par le haut la composition moderne de son enlisement constructiviste (sérialisme) ?

 

Catherine Paoletti :

Nous partirons de la question du nombre et du quantitatif versus qualitatif dans ses déclinaisons mathématiques, et ce du point de vue philosophique, à partir de ses développements chez Gilles Châtelet. Gilles considère que « le nombre n’est pas fondamentalement lié au compte, mais qu’il se laisse penser, en deçà, antérieurement ou plus originairement », notamment par une philosophie du nombre relevant du physico-mathématique, où « Le maintien d’une opposition entre qualitatif et quantitatif souvent entendue comme opposition de la figure et du nombre –, nous semble peu pertinente ». Son souci de clarification philosophique de la question du nombre est également amarré à sa volonté de démystification de l’impensé numérique, mais cette fois, dans sa dimension politique. D’une part, l’instrument de la fabrique du consensus (Manufacture of Consent selon Edward Bernays) dont la perception du nombre par les masses constitue un mode de gestion systémique généralisé, exploite le facteur de désintégration de tout élément singulier – dont le contre-modèle mathématique serait la véritable concrétude géométrique développée par Alexandre Grothendieck. D’autre part, pour Gilles Châtelet, la victoire de l’homme moyen qui accompagne celle du techno-populisme a pour corrélat l’indifférenciation, la disparition des marges au profit de l’index de comportements sociaux visant à un équilibre, à une communication, à une sorte de “pseudo-chuchotement”, à un accord parfait, par le simple recours à la moyenne statistique visant à constituer l’idéal-type de l’homme contemporain qui résulte du fantasme de l’auto-organisation.


Références bibliographiques

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Alunni (C.), 2015, « Gaston Bachelard face aux mathématiques », dans Philosophie et mathématique, Charles Alunni (éd.), Revue de synthèse, Paris, Lavoisier, 6e série, t. 136, n° 1-2, p. 9-32.

Bourgne (Robert) & Azra (Jean-Pierre), 1962, Écrits et mémoires mathématiques, Paris, Gauthier-Villars, édition critique intégrale des manuscrits et publications d’Évariste Galois (Deuxième édition revue et augmentée, Paris, éditions Jacques Gabay, 1997).

 ChÂtelet (Gilles), 1993, Les Enjeux du mobile. Mathématique, physique, philosophie, Paris, Seuil, coll. « Des Travaux ».

ChÂtelet (Gilles), 1997, « De la victoire de Platon et d’un certain techno-populisme hostile aux mathématiques », Gazette des mathématiciens, Paris, Société mathématique de France, octobre, n° 74, p. 13-17 ; réédition, Revue de Synthèse, 7e série, t. 138, 1-4/2017 

ChÂtelet (Gilles), 2011, L’Enchantement du virtuel. Mathématique, physique, philosophie, Paris, Éditions Rue d’Ulm, coll. « Pensée des sciences », (20162).

ChÂtelet (G.), 1998, Vivre et penser comme des porcs. De l’incitation à l’envie et à l’ennui dans les démocraties marchés, Paris, Exil.

ChÂtelet (G.), 2010a, Les animaux Malades du Consensus, Catherine Paoletti (éd., présentation et repères biographiques), Nouvelles Éditions Lignes.

Dalmas (André), 19822, Évariste Galois. Révolutionnaire et Géomètre  (1956), Paris, Le nouveau commerce.

Dupuis (Paul), 1896, La vie d’Évariste Galois, Annales scientifiques de l’École normale supérieure, Paris, Gauthier-Villars, 3e série, vol. 13 (réédition 1992, 2e édition 1902, Paris, Éditions Jacques Gabay).

Ehrhardt (Caroline), 2011, Évariste Galois. La fabrication d’une icône mathématique, Paris, Éditions de l’EHESS.

Galois (Évariste), 1831, « Sur l’enseignement des sciences. Des professeurs - Des ouvrages - Des examinateurs », Gazette des Écoles, numéro du 2 janvier 

Galois (É.), 1962, Écrits et Mémoires mathématiques, édition critique intégrale des manuscrits et publications d’Évariste Galois, Robert Bourgne et Jean-Pierre Azra (éd.), Préface de Jean Dieudonné, Paris, Gauthier-Villars.

Galois (É.), Préface, « Deux mémoires d’analyse par E. Galois », dans Dalmas [A.], 1982.

Revue d’histoire des mathématiques, Évariste Galois, numéro spécial, 2011, Revue d’histoire des mathématiques, 17-2 (2011).

Guitart (René), 2015, « Bachelard et la pulsation mathématique », dans Philosophie et mathématique, Charles Alunni (éd.), Revue de synthèse, Paris, Lavoisier, 6e série, t. 136, n° 1-2, p. 33-74.

Marcuse (Herbert), 1968, L’Homme unidimensionnel  [tr. fr. Monique Wittig], Paris, Éditions de Minuit, coll. « Argument ».

Marcuse (H.), 1968, Raison & Révolution. Hegel et la naissance de la théorie sociale, avec une présentation de Robert Castel, [tr. fr. Robert Castel et Pierre-Henri Gonthier], Paris.

Paoletti (Catherine), 1997, Les philosophes et les mathématiques, « Les Chemins de la Connaissance », Radio-France (France-Culture), 3 septembre.

Paoletti (C.), 1998, Herbert Marcuse, une philosophie de l’espoir pour les sans-espoirs, « Une vie, une œuvre », Radio-France (France-Culture), 7 mai. Rediffusions : 6 juin 1998, 8 Juil. 1998, 4 sept. 1998, 30 août 2003 et 11 août 2004.

Paoletti (C.), 2000, Gilles Châtelet, dernier intellectuel romantique, « Une vie, une Œuvre », émission réalisée par Clotilde Pivin, Radio-France (France-Culture), 30 Juillet. Rediffusions : 1er août 2000, 23 nov. 2002.

Timmermans (Benoît), 2012, Histoire philosophique de l’algèbre moderne. Les origines romantiques de la pensée abstraite, Paris, Éditions Classiques Garnier.

Verdier (Norbert) 2011, Galois, le mathématicien maudit, Paris, Belin.

Vuillemin [Jules], 19932, La Philosophie de l’algèbre [1962], Tome I, Paris, Puf, Coll. « Épiméthée ».


Prochains rendez-vous

10 février 2018 : Mathématiques et dialectique à partir de la pensée romantique

10 mars 2018 : De l’opposition du moderne et du contemporain depuis 1968

6-7 avril 2018 : Journées d’étude sur Immanence des vérités d’Alain Badiou

26 mai 2018 : La rupture de 1848

Organisation : Charles Alunni, Moreno Andreatta, Violaine Anger, Andrea Cavazzini, François Nicolas.